函数

函数的概念很多书里（如同济版高数以及高中教科书等）都是先讲到“映射”，然后用“对映”的概念去描述映射，可是这里有一个问题，即引入了“对映”这一从未定义过的复杂概念。所以更合理的方式，是用集合论去定义函数。

我们先按书的顺序，用映射来描述一下。

映射

设有二集合$X$,$Y$，按照某种规律$f$，对于$x\in X$，$\exists !y\in Y$ 与$x$对应，就称有定义在$X$上而在$Y$取值的映射。记为：

$f:X \rightarrow Y,or ,X\stackrel{f}{\longrightarrow} Y$

（!在这表示唯一，唯一性是映射的重要特性）

其中$X$称映射的出发域，$y$称为映射的到达域。需要注意的是出发域不完全等于定义域，到达域也不完全等于值域

根据集合$X$，$Y$的性质的不同，映射有不同的名字：函数、变换、射、算子、泛函等。

其中，函数表示数集到数集的映射，算子表示函数到函数的映射，泛函表示函数到数的映射。

满射，单射，双射

映射的定义域、值域

在出发域中取一集合$D$，$\forall x\in D$，都$\exists !y\in Y$ 与$x$对应，则称$D$为映射的定义域(Domain)，映射在$D$的一切元素上取得的函数值$f(x)$构成的集合$R$，称其为映射的值域(Range)，即

$f(X):=R=\{y\in Y|\exists x((x\in X)\wedge(y=f(x)))\}$

特别的，当映射的定义域等于出发域且值域等于到达域时，称之为“满射”

像、原像与层

当把函数$f:X\rightarrow Y$叫做映射时，它在元素$x\in D$上取的值$f(x)\in R$,通常称为元素$x$的像

对于集合$A\subset D$，$A$中各点$x$的像所组成的集叫做A在映射$f:X\rightarrow Y$上的像

对于集$B\subset Y$，则把$X$中其像属于$B$的那些元素的集：

$f^{-1}(B) := \{x\in X|f(x)\in B\}$

称为$B$的原像或全原像。

单射

如果对$X$中的任何元素$x_1,x_2$，有

$(f(x_1) = f(x_2)) \Rightarrow (x_1 = x_2)$

即不同的元素有不同的像，就说$f$是单射（或嵌入、内射）

双射

如果f既是单射，又是满射，就称f是双射（或一一映射、双方单值映射）

逆映射

若映射$f$是双射，即集$X$与集$Y$间双方单值对应，那么自然有映射

$f^{-1}:Y\rightarrow X$

这个映射叫做原映射f的逆映射

虽然符号表示与原像类似，但
只有双射有逆映射，而原像任何映射都有

复合映射

映射的复合运算，一方面是产生新映射的丰富源泉，另一方面又是将复杂映射分解为简单映射的一种方法

若有二映射$f:X\rightarrow Y$与$g:Y\rightarrow Z$，且$f$定义在$g$的值域上，则可用公式

$(g\circ f)(x):=g(f(x))$

确定$X$上的新映射

$g\circ f:X\rightarrow Z$

所建立的映射叫做映射$f$与映射$g$（从右至左）的复合映射

可以发现，映射的复合可满足结合律：

$(h\circ(g\circ f))(x)=h(g(f(x)))=(h\circ g)(f(x))=((h\circ g)\circ f)(x)$

但一般不满足交换律：

$g\circ f \neq f\circ g$

恒等映射与互逆映射

如果映射$f:X\rightarrow X$把$X$的每个元映成自身，那么就把$f$记作$e_x$，称为集$X$的恒等映射

引理

$(g\circ f = e_x) \Rightarrow (g是满射)\wedge(f是单射)$

$\blacktriangleleft$
若映射$f$不是单射，则$\exists x_1,x_2\in X,(f(x_1)=f(x_2))\Rightarrow x_1\neq x_2$ 即同一像的原像不唯一，那将原像映射回去时，必有$x_1$映射不到或$x_2$映射不到，与恒等映射的定义冲突，故$f$为单射.

若$f$的值域是$Y$，其又是单射，故$g:Y\rightarrow X$，为满射。
$\blacktriangleright$

定理

$(f:X\rightarrow Y,g:Y\rightarrow X是互逆的双射)\Leftrightarrow (g\circ f = e_x)\wedge(f\circ g = e_x)$

$\blacktriangleleft$
由引理可知，$f,g$都是双射，复合之后得到$e_x$又保证了互逆性。
$\blacktriangleright$

关系

前面说了，映射（函数）的概念可以用集合论来描述。为此，我们要先引入“关系”这一概念：

关系的概念

由一些序对$(x,y)$组成的任一集，叫做一个关系$\mathcal{R}$

构成$\mathcal{R}$的所有序对的第一个元素组成的集$X$叫做关系$\mathcal{R}$的定义域，第二个组成的集叫做关系$$的值域
类似映射，它也有出发域和到达域的定义。

“关系”其实是一个集合，有点好玩吧。

实际上，可以把关系理解为$X$与$Y$的笛卡尔积的子集。

常常把$(x,y) \in \mathcal{R}$写成$x\mathcal{R}y$，并说$x$与$y$用关系$\mathcal{R}$联系着

如果$\mathcal{R} \subset X^2$，就说关系$\mathcal{R}$在$X$上给定。

有点抽象吧，下面我来举几个例子

实例

对角线

一般的，给定在$X$上的关系$\mathcal{R}$，对角线定义为

$\Delta = \{(a,b)\in X^2|a=b\}$

$a\Delta b$ 表示 $(a,b)\in \Delta$，即 $a=b$

平行

若关系$\mathcal{R}$为平行，$X$为平面上直线构成的集，显然$\mathcal{R}$是$X^2$的子集：

$\mathcal{R} = \{((a,b)\in X^2 | a平行b )\}$

且其具有以下性质：

$\begin{align} &a\mathcal{R}a &（反身性）\\ &(a\mathcal{R} b) \Rightarrow (b\mathcal{R}a ) &（对称性）\\ &(a\mathcal{R} b)\wedge(b\mathcal{R} c)\Rightarrow (a\mathcal{R} c) &（传递性） \end{align}$

这样子，关系这个概念就比较好理解了吧。另外的，若一个关系具有以上三个性质（反身，对称，传递），就称其为等价关系，可以用符号$\sim$表示。可以发现我们上面所说的对角线也是一种等价关系。

包含于

设$M$是一个集合，对于$M$的两个子集$a$与$b$,它们之间只有三种可能关系

$a\subset b$
$b\subset a$
$a\not\subset b \wedge b \not\subset a$

设$X=P(M)$是$M$的一切子集的全体。$\subset$可以看作定义在$X$上的一个关系。且此关系在以下性质：

$\begin{align} &a\mathcal{R}a &（反身性）\\ &(a\mathcal{R} b) \Rightarrow (b\mathcal{R}a ) &（对称性）\\ &(a\mathcal{R} b)\wedge(b\mathcal{R} a)\Rightarrow (a = b) &（反对称性） \end{align}$

这最后一个性质与平行不一样，称为反对称性，满足以上三个性质的关系被称为偏序关系

偏序关系若另外满足性质：

$\forall a\forall b((a\mathcal{R}b)\vee(b\mathcal{R}a))$

即任二元素都可比较，则称其为序关系，定义了序关系的集合称为线性序集。

常见的序关系有$\leq,\geq$等，实际上这也是“序”名称的由来。