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埃氏筛比较原始，但很实用，性价比高。 最简单的实现如下：(筛出1~N的质数)1234567bool notp[N];void is() { for (int i = 2;i <= N;++i) if (!notp[i]) for (int j = 2*i;j <= N;j += i) notp[j] = 1;}当然这有很多的优化空间，比如排除偶数、从i*i开始等等。 上面这段代码没有记录素数的数组。可以改为：1234567891011bool notp[N];vector<int> pri;void is{ for (int i = 2;i <= N;++i) { if (!notp[i]) pri.push_back(i); for (auto p:pri) { if (i*p > N) break; notp[i*p] = 1; } }}这里把筛去 “质数的 ...

开门见山 闭区间套引理(Cauchy-Cantor)先来定义，再来定理。 定义序列定义：以自然数为自变量的函数$f:N\rightarrow X$叫做集合 $X$ 中的元素序列，简称序列。 元素是数，就叫数列，元素是集，就叫集列。 集列套定义：一集列 $X_n$ ，若 $\forall n\in N(X_n\supset X_{n+1})$，就称其是集列套 引理对于任何闭区间集列套 $I_n$，存在一点 $c\in R$，使得 $c\in I_n$。若 $|In|$ 趋近于无穷小，那么 $c$ 便是唯一的。 一个是存在性，一个是唯一性，注意唯一性不一定满足。 优先覆盖引理(Borel-Lebesgue)定义覆盖定义：若 $S$ 是一集族，$Y \subset \underset{X\in S}\bigcup X$，就说 $S$ 覆盖集合 $Y$ 集族就是集合的集合，之前有提过哦。 引理在覆盖一个闭区间的任何开区间族中，存在这覆盖这一闭区间的有限子族。 意思差不多就是用有限个开区间肯定能覆盖一个闭区间。 极限点引理首先要引入两个定义，这两个定义我们之后会经常使用。 定义邻域：含有点 $x ...

实数集的公理推论上次我们讲了实数的公理系统，这次我们来聊聊公理的推论。讨论完这个，我们就可以畅所无阻的使用小学二年级的数学了（） 加法公理的推论1.实数集有唯一的零元$\blacktriangleleft$ 假设存在两个零元 $0_1,0_2,0_1 \neq 0_2$ ,那么 0_1 = 0_1+0_2 = 0_2+0_1 = 0_2矛盾，故原命题得证。$\blacktriangleright$ 2.实数集中每个元素有唯一的负元$\blacktriangleleft$ 假设 $x$ 存在两个负元 $x_1,x_2，x_1\neq x_2$ ,那么 x_1 = x_1 + 0 = x_1 + (x+x_2) = (x_1+x) + x_2 = 0 + x_2 = x_2得证了吧，用到的都是那四个公理。$\blacktriangleright$ 3.方程 $a+x = b$ 在 $R$ 中有唯一解 $x = b + (-a)$$\blacktriangleleft$ 我们这里就可以借助刚刚证明的推论2了 (a+x=b) \Leftrightarrow (a+(-a) ...

本来是想说说公理化集合论的，可是书是写得我也不完全理解，那就等以后其它的代数书再聊吧。 实数集的公理系统（这是我看张平老师视频的第一节课） 我们从小就开始数数，可是我们真的了解实数吗？我们现在就要从严谨的数学基础出发，重新刻画这个我们无比熟悉的老朋友。 实数的公理系统大致可以分为四块 加法公理 乘法公理 序公理 完备性公理（连续性公理）以及它们之间的交叉 这些内容可能看起来很简单，数学家就是这么一群人，把我们的常识给生吞活剥了才算完。我们也一个一个的剥吧 加法公理我们常说的加法，实际上是一个映射: +:R\times R\rightarrow R可以发现其满足以下四个性质： （中性元）有加法零元 $0,\forall x\in R$ x+0 = 0+x = x （逆元）$\forall x\in R,\exists -x\in R$,称为$x$的负元，有 x + (-x) = (-x) + x = 0 （给合律）$\forall x,y,z \in R$,有 x+(y+z) = (x+y)+z （交换律） $\forall x,y\in R$ x+y = y+x ...

函数函数的概念很多书里（如同济版高数以及高中教科书等）都是先讲到“映射”，然后用“对映”的概念去描述映射， 可是这里有一个问题，即引入了“对映”这一从未定义过的复杂概念。所以更合理的方式，是用集合论去定义函数。我们先按书的顺序，用映射来描述一下。 映射设有二集合$X$,$Y$，按照某种规律$f$，对于$x\in X$，$\exists !y\in Y$ 与$x$对应，就称有定义在$X$上而在$Y$取值的映射。记为： f:X \rightarrow Y,or ,X\stackrel{f}{\longrightarrow} Y（!在这表示唯一，唯一性是映射的重要特性）其中$X$称映射的出发域，$y$称为映射的到达域。需要注意的是出发域不完全等于定义域，到达域也不完全等于值域 根据集合$X$，$Y$的性质的不同，映射有不同的名字：函数、变换、射、算子、泛函等。其中，函数表示数集到数集的映射，算子表示函数到函数的映射，泛函表示函数到数的映射。 满射，单射，双射映射的定义域、值域在出发域中取一集合$D$，$\forall x\in D$，都$\exists !y\in Y$ 与$x$对 ...