卓里奇数学分析05（实数集的公理推论）

实数集的公理推论

上次我们讲了实数的公理系统，这次我们来聊聊公理的推论。讨论完这个，我们就可以畅所无阻的使用小学二年级的数学了（）

加法公理的推论

1.实数集有唯一的零元

$◂$ 假设存在两个零元 $0_1,0_2,0_1\ne 0_2$ ,那么

$$0_1=0_1+0_2=0_2+0_1=0_2$$

矛盾，故原命题得证。$▸$

2.实数集中每个元素有唯一的负元

$◂$ 假设 $x$ 存在两个负元 $x_1,x_2，x_1\ne x_2$ ,那么

$$x_1=x_1+0=x_1+(x+x_2)=(x_1+x)+x_2=0+x_2=x_2$$

得证了吧，用到的都是那四个公理。$▸$

3.方程 $a+x=b$ 在 $R$ 中有唯一解 $x=b+(-a)$

$◂$ 我们这里就可以借助刚刚证明的推论2了

$$(a+x=b)\iff (a+(-a)+x=b+(-a))\iff (0+x=b+(-a))\iff (x=b+(-a))▸$$

$b+(-a)$ 可写成 $b-a$

乘法公理的推论

1.实数集有唯一的单位元

$◂$ 同样的，证明唯一性反证法很有用，设有两个不同的单位元$x_1,x_2$

$$x_1=x_1\cdot x_2=x_2\cdot x_1=x_2$$

矛盾，得证。$▸$

2.对于每个非零实数，有唯一逆元

$◂$ 设 $x$ 有两不同逆元 $x_1,x_2$

$$x_1=x_1\cdot 1=x_1\cdot (x\cdot x_2)=(x_1\cdot x)\cdot x_2=1\cdot x_2=x_2$$

矛盾。得证 $▸$

3.方程 $a\cdot x=b$，当 $a\in R\mathrm{\setminus }0$,有唯一解 $x=b\cdot a^{-}1$

$$◂(a\cdot x=b)\iff (a\cdot a^{-}1\cdot x=b\cdot a^{-}1)\iff (x=b\cdot a^{-}1)▸$$

加法与乘法附加公理的推论

1.

$$\mathrm{\forall }x\in R(x\cdot 0=0\cdot x=0)$$

$$◂(x\cdot 0=x\cdot (0+0)=x\cdot 0+x\cdot 0)\Rightarrow (x\cdot 0=0)▸$$

这里可以顺便得到，$(x\in R\mathrm{\setminus }0)\iff (x_{-}1\in R\mathrm{\setminus }0)$ ，因为二者其中有一个是 $0$ ,结果必定不为 $1$.

2.$(x\cdot y=0)\Rightarrow (x=0)\vee (y=0)$

$◂$ 假如 $x\ne 0$ 那么解的唯一性可以得到 $y=0\ast x^{-}1=0▸$

3.$\mathrm{\forall }x\in R(-x=(-1)\cdot x)$

$◂x+(-1)\cdot x=(1+1)\cdot x=0\cdot x=0$
又有负元的唯一性，得证。$▸$

4.$\mathrm{\forall }x\in R((-1)\cdot (-x)=x)$

5.$\mathrm{\forall }x\in R((-x)\cdot (-x)=x\cdot x)$

不是，哥们太多了，而且我还没有完全消化。为了写这个我已经三四天没有学习新的内容了。如果在学习的过程中一直这样怕是学不成了的。我就简短一点，不在一一写证明了。我可以在我已经学完想要有新的领悟的基础上再写点有意思的，文章或者视频都可以。现在我还是就简单写个总结吧。我真没蓝了。
我的水平还是够不上讲课式的风格，那我就写简单的总结吧。关键处点几点。

序公理的推论

主要就是把 $\le$ 给推成 $<$

$$\begin{array}{}\text{(1)}& & \mathrm{\forall }x,y(x<y)\vee (x=y)\vee (x>y)\text{(2)}& & (x<y)\wedge (y\le z)\Rightarrow (x<z>)\text{(3)}& & (x\le y)\wedge (y<z)\Rightarrow (x<z)\end{array}$$

有点反人类吧，在逻辑的世界中没有直觉可言。

序公理与加法及乘法公理的推论

加法的就是“显而易见”的等式性质

$$\begin{array}{}\text{(4)}& & (x<y)\Rightarrow (x+z)<(y+z)\text{(5)}& & (0<x)\Rightarrow (-x<0)\text{(6)}& & (x\le y)\wedge (x+z\le y+w)\text{(7)}& & (x\le y)\wedge (z<w)\Rightarrow (x+z<y+w)\end{array}$$

乘法的更多考虑符号的问题

$$\begin{array}{}\text{(8)}& & (0<x)\wedge (0<y)\Rightarrow (0<xy)\text{(9)}& & (x<0)\wedge (y<0)\Rightarrow (0<xy)\text{(10)}& & (x<0)\wedge (0<y)\Rightarrow (xy<0)\text{(11)}& & (x<y)\wedge (0<z)\Rightarrow (xz<yz)\text{(12)}& & (x<y)\wedge (z<0)\Rightarrow (yz<xz)\text{(13)}& & 0=1\end{array}$$

真不明白罗素和怀特海是什么心态完成的《数学原理》

完备性推论-上下确界的存在性

首先有很多的定义要先说明

定义

定义1：设 $X\subset R$ 是一集合，若 $\mathrm{\exists }c\in R,\mathrm{\forall }x\in X(x\le c)/(c\le x)$,就说集合 $X$ 是上（下）有界。这时 $c$ 就叫做 $X$ 的一个上（下）界。

定义2： 既有上界又有下界的集合叫做有界集 （单界无界）。

定义3： 集合 $X$ 的极大元 $(a=maxX):=(a\in X\wedge \mathrm{\forall }x\in X(x\le a))$

极小元 $(b=minX):=(a\in X)\wedge \mathrm{\forall }X\in X(a\le x)$

定义4： 集合 $X$ 的上确界为其上界中的最小者，记为

$$\begin{array}{}\text{(14)}& & (s=supX):=\mathrm{\forall }x\in X((x\le s)\wedge (\mathrm{\forall }{s}^{\prime }<s\mathrm{\exists }{x}^{\prime }\in X(s^{\prime }\le x^{\prime })))\text{(15)}& or& (s=supX):=min\{c\in R|\mathrm{\forall }x\in X(x\le c)\}\end{array}$$

也可用符号 $\underset{x\in X}{sup}x$

同样的，下确界为其下界中的最大者，记为

$$\begin{array}{}\text{(16)}& & (i=infX):=\mathrm{\forall }x\in X((i\le x)\wedge (\mathrm{\forall }{i}^{\prime }>i\mathrm{\exists }{x}^{\prime }\in X(x^{\prime }\le i^{\prime })))\text{(17)}& or& (i=infX):=max\{c\in R|\mathrm{\forall }x\in X(c\le x)\}\end{array}$$

同样可用符号 $\underset{x\in X}{inf}x$ 表示。

定义搞完，下一步就是讲定理。

定理

引理（上确界原理）：实数集的任何非空有上界子集有唯一的上确界

人话就是有上界就有 ，唯一的上确界（存在性和唯一性）。

下确界也一样，建议改成确界原理，就这，完事了

重要的是，有上界不一定有极大元，有极大元一定有上界且极大元就是上确界。下面也一样（开闭区间的意思）

尾声

摆了，我还有三个大引理没写呢。今晚能不能搞定呀哥。