实数集的公理推论

上次我们讲了实数的公理系统，这次我们来聊聊公理的推论。讨论完这个，我们就可以畅所无阻的使用小学二年级的数学了（）

加法公理的推论

1.实数集有唯一的零元

$\blacktriangleleft$ 假设存在两个零元 $0_1,0_2,0_1 \neq 0_2$ ,那么

$0_1 = 0_1+0_2 = 0_2+0_1 = 0_2$

矛盾，故原命题得证。$\blacktriangleright$

2.实数集中每个元素有唯一的负元

$\blacktriangleleft$ 假设 $x$ 存在两个负元 $x_1,x_2，x_1\neq x_2$ ,那么

$x_1 = x_1 + 0 = x_1 + (x+x_2) = (x_1+x) + x_2 = 0 + x_2 = x_2$

得证了吧，用到的都是那四个公理。$\blacktriangleright$

3.方程 $a+x = b$ 在 $R$ 中有唯一解 $x = b + (-a)$

$\blacktriangleleft$ 我们这里就可以借助刚刚证明的推论2了

$(a+x=b) \Leftrightarrow (a+(-a)+x=b+(-a)) \Leftrightarrow (0+x=b+(-a)) \Leftrightarrow (x = b+(-a)) \blacktriangleright$

$b+(-a)$ 可写成 $b-a$

乘法公理的推论

1.实数集有唯一的单位元

$\blacktriangleleft$ 同样的，证明唯一性反证法很有用，设有两个不同的单位元$x_1,x_2$

$x_1 = x_1 \cdot x_2 = x_2\cdot x_1 = x_2$

矛盾，得证。$\blacktriangleright$

2.对于每个非零实数，有唯一逆元

$\blacktriangleleft$ 设 $x$ 有两不同逆元 $x_1,x_2$

$x_1 = x_1 \cdot 1 = x_1 \cdot(x\cdot x_2) = (x_1 \cdot x)\cdot x_2 = 1\cdot x_2 = x_2$

矛盾。得证 $\blacktriangleright$

3.方程 $a\cdot x = b$，当 $a\in R\backslash 0$,有唯一解 $x = b\cdot a^-1$

$\blacktriangleleft (a\cdot x = b)\Leftrightarrow (a\cdot a^-1\cdot x=b\cdot a^-1) \Leftrightarrow(x=b\cdot a^-1) \blacktriangleright$

加法与乘法附加公理的推论

$\forall x\in R (x\cdot 0 = 0\cdot x = 0)$ $\blacktriangleleft (x\cdot 0 = x\cdot (0+0) = x\cdot 0+x\cdot 0) \Rightarrow (x\cdot 0 = 0) \blacktriangleright$

这里可以顺便得到，$(x\in R\backslash 0) \Leftrightarrow (x_-1\in R\backslash 0)$ ，因为二者其中有一个是 $0$ ,结果必定不为 $1$.

2.$(x\cdot y=0)\Rightarrow(x=0)\vee(y=0)$

$\blacktriangleleft$ 假如 $x \neq 0$ 那么解的唯一性可以得到 $y = 0*x^-1 = 0 \blacktriangleright$

3.$\forall x\in R (-x=(-1)\cdot x)$

$\blacktriangleleft x+(-1)\cdot x = (1+1)\cdot x = 0\cdot x = 0$
又有负元的唯一性，得证。$\blacktriangleright$

4.$\forall x\in R((-1)\cdot (-x) = x)$

5.$\forall x\in R((-x)\cdot (-x) = x\cdot x)$

不是，哥们太多了，而且我还没有完全消化。为了写这个我已经三四天没有学习新的内容了。如果在学习的过程中一直这样怕是学不成了的。我就简短一点，不在一一写证明了。我可以在我已经学完想要有新的领悟的基础上再写点有意思的，文章或者视频都可以。现在我还是就简单写个总结吧。我真没蓝了。
我的水平还是够不上讲课式的风格，那我就写简单的总结吧。关键处点几点。

序公理的推论

主要就是把 $\leq$ 给推成 $<$

$\begin{align} &\forall x,y(x<y)\vee(x=y)\vee(x>y) \\ &(x<y)\wedge(y\leq z) \Rightarrow (x<z>) \\ &(x\leq y)\wedge(y<z)\Rightarrow (x<z) \end{align}$

有点反人类吧，在逻辑的世界中没有直觉可言。

序公理与加法及乘法公理的推论

加法的就是“显而易见”的等式性质

$\begin{align} &(x<y) \Rightarrow (x+z) < (y+z) \\ &(0<x) \Rightarrow (-x<0) \\ &(x\leq y)\wedge(x+z\leq y+w) \\ &(x\leq y)\wedge(z<w)\Rightarrow (x+z<y+w) \end{align}$

乘法的更多考虑符号的问题

$\begin{align} &(0<x)\wedge(0<y) \Rightarrow (0<xy) \\ &(x<0)\wedge(y<0) \Rightarrow (0<xy) \\ &(x<0)\wedge(0<y) \Rightarrow (xy<0) \\ &(x<y)\wedge(0<z) \Rightarrow (xz < yz)\\ &(x<y)\wedge(z<0) \Rightarrow (yz<xz) \\ &0 = 1 \end{align}$

真不明白罗素和怀特海是什么心态完成的《数学原理》

完备性推论-上下确界的存在性

首先有很多的定义要先说明

定义

定义1：设 $X \subset R$ 是一集合，若 $\exists c\in R,\forall x\in X(x\leq c)/(c \leq x)$,就说集合 $X$ 是上（下）有界。这时 $c$ 就叫做 $X$ 的一个上（下）界。

定义2：既有上界又有下界的集合叫做有界集 （单界无界）。

定义3：集合 $X$ 的极大元 $(a = max X) := (a\in X \wedge \forall x \in X(x \leq a))$

极小元 $(b = min X) := (a\in X)\wedge\forall X \in X (a \leq x)$

定义4：集合 $X$ 的上确界为其上界中的最小者，记为

$\begin{align} &(s=sup\ X) := \forall x\in X((x\leq s)\wedge(\forall s'<s\exists x'\in X(s'\leq x'))) \\ or\quad &(s = sup\ X) := min\{c\in R|\forall x\in X(x\leq c)\} \end{align}$

也可用符号 $\underset{x\in X}{sup}\ x$

同样的，下确界为其下界中的最大者，记为

$\begin{align} &(i=inf\ X) := \forall x\in X((i\leq x)\wedge(\forall i'>i \exists x' \in X(x'\leq i'))) \\ or\quad &(i = inf\ X) := max\{c\in R|\forall x\in X(c\leq x)\} \end{align}$

同样可用符号 $\underset{x\in X}{inf}\ x$ 表示。

定义搞完，下一步就是讲定理。