本来是想说说公理化集合论的，可是书是写得我也不完全理解，那就等以后其它的代数书再聊吧。

实数集的公理系统

（这是我看张平老师视频的第一节课）

我们从小就开始数数，可是我们真的了解实数吗？我们现在就要从严谨的数学基础出发，重新刻画这个我们无比熟悉的老朋友。

实数的公理系统大致可以分为四块

加法公理
乘法公理
序公理
完备性公理（连续性公理）
以及它们之间的交叉

这些内容可能看起来很简单，数学家就是这么一群人，把我们的常识给生吞活剥了才算完。我们也一个一个的剥吧

加法公理

我们常说的加法，实际上是一个映射:

$+:R\times R\rightarrow R$

可以发现其满足以下四个性质：

（中性元）有加法零元 $0,\forall x\in R$ $x+0 = 0+x = x$
（逆元）$\forall x\in R,\exists -x\in R$,称为$x$的负元，有 $x + (-x) = (-x) + x = 0$
（给合律）$\forall x,y,z \in R$,有 $x+(y+z) = (x+y)+z$
（交换律） $\forall x,y\in R$ $x+y = y+x$ 这些就是我们熟悉的加法

另外的，若一集合$G$上定义了一运算满足了上述1、2、3性质，就说$G$是群,若还满足性质4，就称其为阿贝尔群或交换群。

乘法公理

类似的，乘法其实也是一种映射：

$\cdot : R\times R \rightarrow R$

其有以下性质:

（中性元）存在乘法单位元 $1 \in R$，使得 $x\cdot 1 = 1\cdot x = x$
（逆元）$\forall x \in R\backslash 0,\exists x^-1\in R\backslash 0$ $x\cdot x^-1 = x^-1\cdot x = 1$
（结合律）
（交换律）

后两个我就省略了嘻嘻，注意对乘法讨论逆元时，需要去掉 $0$

一般的，加法的中性元称为零元，乘法的称为单位元；加法的逆元称为负元，乘法的就称逆元。而在抽象的群里就没那么讲究了。

显然（真得很显然），$R\backslash 0$ 关于乘法是一个阿贝尔群。

加法、乘法附加公理

就是分配律

$(x+y)\cdot z = x\cdot z+ y\cdot z$

另外的，若集 $G$ 上定义了如上两种运算，就称 $G$ 是一个代数域，简称域

序公理

实数是有顺序滴，严谨的说:

$R$ 的元素间有关系 $\leq$ ,满足下列性质：

$\begin{align} &\forall x\in R(x \leq x) &(反身性)\\ &(x\leq y)\wedge (y\leq x) \Rightarrow (x = y) &(反对称性)\\ &(x\leq y)\wedge(y\leq z) \Rightarrow (x\leq z) &(传递性)\\ &\forall x\in R\forall y\in R(x\leq y)\vee(y\leq x) &(线性) \end{align}$

想到之前说过的“序关系”了吧。类似的，若一集合上定义一关系满足前三个性质，则称此集为偏序集，若还满足性质4，则称其为线性序集。

显然，实数集为线性序集。

加法与序附加公理

不等式恒成立

$(x\leq y)\Rightarrow (x+z\leq y+z)$

乘法与序附加公理

同正得正

$(0\leq x)\wedge(0\leq y)\Rightarrow (0 \leq x\cdot y)$

完备（连续）公理

就是实数是连续的。两数之间肯定能插入另一个数。严谨表达:
如果 X 与 Y 是 R 的非空子集，而具有性质：对于任何 $x\in X,y\in Y$ ,有 $x\leq y$ ，那么，存在 $c\in R$ ，使对任何 $x\in X,y\in Y$ ，有$x\leq c\leq y$

为什么要冒出一个集合呢？应该是为了更好的进行推导吧。我们之后还会通过他推出许多在极限中很有用的定理。

实数的定义

满足这四组条件（加法，乘法，序，完备性）的集 $R$ 称为实数集，他的元素叫做实数

很严谨。

尾声

到此为止，我们就建立了一个实数模型，我们可以放心的使用它了。几何的公理化从欧几里得时代就开始了。相比之下，数字的公理化就要晚上许多。原因可能就在于他不如几何直观。但是他也相当重要。下面我会讲讲由这些公理推出的推论。